技能実習生に実習期間終了後も継続して働いてもらうことは可能でしょうか

条件を満たせば可能です。
技能実習は基本的にまず日本で3年間働くことができます。その後条件を満たせば技能実習でさらに2年働くことができます。また技能実習を3年以上経験していれば、特定の職種では試験なしで特定技能として5年間働く事ができます。
（詳細説明）
◇技能実習1号・2号
技能実習においては、最初の1年を技能実習1号、2年目3年目を技能実習2号と呼び、ここまでが基本的な技能実習となります。
◇技能実習3号への条件
①担当する監理団体が一般監理団体（優良な監理団体）
②実習実施者（受け入れ企業）が優良実習実施者と外国人技能実習機構から認定されている
③技能実習生が「随時３級」技能検定（実技試験）に合格している
以上の条件をクリアすると、4年目5年目も「技能実習3号」で働く事ができます。
（参考リンク　技能実習生が就労した後の流れについて）
◇特定技能1号への条件
技能実習を3年経験した外国人は、業種によっては無試験で特定技能1号として就労することができます。
◇特定技能2号への条件
建設業と造船・舶用工業については、特定技能1号終了後、業種別に指定される技能試験に合格すれば、特定技能2号として事実上永住が可能になります。この場合家族を本国から呼び寄せることも可能になります。建設業と造船・舶用工業以外の職種については、今後特定技能2号が許可される職種も出てくると予想されます。

また、優良な実習実施者への拡充措置として受け入れの人数枠が拡大します。

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